Blog abierto, dedicado a la seccion 1-1 de Logica de la Universidad Dr. José Matias Delgado.
En este Blog podemos hacer cualquier comentario, pregunta, aclaración, etc.. sobre la clase de Logica, como tambien podemos subir algunos documentos, y tareas o trabajos.
Ya tenemos el primer seguidor del blog, es el profe Vladimir Menjivar, espero que sea de utilidad para todos nosotros.
ResponderEliminarHey!!!!!!!!!
ResponderEliminarxq no suben as presentaciones de las expo XD
sería muy util tenerlas a la mano XD
Lo mismo que Möník estaba pensando...
ResponderEliminaroks... como hoy es domigo y muy tarde, les promerto que les hare un resumen de Gottlob Frege pero en el transcurso de esta sem.
ResponderEliminarBertrand Arthur William Russell, 3er Duque de Russell._
ResponderEliminarOM(Orden de Mérito del Reino Unido), MRS (Miembro de la Royal Society) , (18 de mayo de 1872 - 2 de febrero de 1970) fue un filósofo, matemático y escritor británico. Pacifista y prominente racionalista.
Bertrand Russell fue hijo de John Russell, Vizconde de Amberley y de Katherine Louisa Stanley (1844 - 1874), esta fue la hija de Edward Stanley, 2º Baron Stanley de Alderley, y fue hermana de Rosalind Howard, condesa de Carlisle.
Posiblemente el filósofo más influyente del siglo XX, al menos en los países de habla inglesa, considerado junto con Gottlob Frege como uno de los fundadores de la Filosofía analítica. Es también considerado uno de los dos lógicos más importantes del siglo XX, siendo el otro Kurt Gödel. Russell fue heredero de una distinguida tradición de liberalismo, nieto de Lord John Russell, primer Conde de Russell, quien sirvió dos términos como Primer Ministro a la Reina Victoria y ahijado de John Stuart Mill, quien, aunque jamás conoció a Russell ejerció una profunda influencia en su pensamiento político a través de sus escritos. Russell quedó huérfano a la edad de 6 años luego de que primero murieran su hermana y su madre de difteria y seguidamente su padre, Amberley, quién no pudo recuperarse de la pérdida de su esposa e hija y finalmente se dejó morir en 1878.
Russell y su hermano Frank se mudaron a Pembroke Lodge, una residencia oficialmente de la Corona pero en donde por favor Real vivían su abuelo Lord John y su abuela Lady Russell, quien sería la responsable de educarlo.
La infancia de Russell transcurrió en Pembroke Lodge de una manera solitaria, solía pasar mucho tiempo en la biblioteca de su abuelo en donde precozmente demostró un gran amor por la Literatura y la Historia.
A la edad de once años Russell comenzó el estudio de la geometría euclidiana, pareciéndole tan maravilloso todo el asunto como el primer amor. El poder demostrar una proposición le produjo a Russell una inmensa satisfacción, que sin embargo se vio frustrada cuando su hermano le dijo que tendría que aceptar ciertos axiomas sin cuestionarlos, o de otra forma no podrían seguir. Al percatarse de su facilidad para aprender geometría, Russell consideró por primera vez que quizá poseía alguna inteligencia. Desde ese momento hasta la terminación de Principia Mathematica las matemáticas serían su principal fuente de felicidad.
Durante este periodo Russell leyó vorazmente, en italiano a Dante y Maquiavelo, leyó de su padrino Mill la "Economía Política" y la "Lógica", de los cuales hizo amplios apuntes. Russell leyó también al célebre historiador Edward Gibbon y los " Viajes de Gulliver" de Jonathan Swift que dejarían un recuerdo indeleble en su mente.
Leyó también mucha poesía, por supuesto John Milton y William Shakespeare entre otros, pero su poeta favorito era Percy Bysshe Shelley, cuyo poema Alastor; o El Espíritu de la Soledad había impresionado profundamente a Russell y el cual, pese a ser bastante extenso, se sabía de memoria. También en esta época Russell escribió en sus cuadernos los que después serían conocidos como "Ejercicios de Griego", una serie de notas, escritas en inglés pero utilizando el alfabeto griego, en donde Russell debatía varias problemáticas filosóficas que habían venido atormentándolo, especialmente el problema del libre albedrío contra el determinismo. Siendo Russell en esta época un joven profundamente religioso y además con un excelente entrenamiento en matemáticas y física, era consciente del problema que surgía cuando consideramos que todos los cuerpos físicos del universo se comportan de acuerdo a ciertas regularidades, cosa que en física nos permite predecir su comportamiento. De este hecho se deduce que ya que los cuerpos humanos son otros objetos físicos más en el universo, entonces éstos y sus comportamientos también están determinados y podrían ser deducidos por un ser o máquina con poderes de razonamiento superior. Pero si esto es así, pensaba Russell, entonces el hombre no tiene libre albedrío. Estas conclusiones le parecían alarmantes al darse cuenta que chocaban con algunas de sus convicciones religiosas. Gradualmente Russell abandonó la creencia en Dios a medida que su intelecto filosófico se tornó más y más racionalista.
Russell terminó por ingresar al Trinity College de Cambridge para estudiar matemáticas. Su examinador fue Alfred North Whitehead, con quien después colaboraría en Principia Mathematica.
Russell continuó sus estudios en matemáticas en Cambridge, aunque algo decepcionado por la manera en que en esos tiempos se enseñaba esta ciencia. Esto se debe principalmente a que las matemáticas, en esa época, se enseñaban mediante la constante resolución de ejercicios mecánicamente, sin ir muy a fondo en la parte puramente formal de la disciplina.
El hecho de tener que aprender su amada ciencia como una serie de trucos decepcionó profundamente a Russell quien buscó estimulación intelectual en la filosofía. Por esta época leyó a Platón, a Baruch Spinoza, a David Hume y a F.H. Bradley por mencionar algunos.
Durante su cuarto año en Cambridge, Russell estudió ciencias morales, que era el nombre por el cual se conocía a la filosofía. Para entonces Russell ya se había hecho amigo de George Edward Moore, un joven estudiante de clásicos a quien Russell había persuadido de cambiarse a filosofía. También Russell para entonces había caído bajo la influencia filosófica de McTaggart, uno de los prometedores filósofos idealistas del momento. Es en este contexto en donde tuvo lugar la famosa revuelta de Russell y Moore contra el idealismo .
En el aspecto personal, Russell para ese entonces había conocido y se había enamorado de la hermosa Alys Pearsall Smith, mujer que, a pesar de ser varios años mayor que él lo había cautivado profundamente, tanto por su belleza victoriana como por sus convicciones, ideas y formas de ver el mundo. Alys era una joven profundamente culta e interesada en participar activamente a favor de varias causas. Russell desde un principio trató de impresionarla y resolvió persuadirla primero que el matrimonio era algo deseable, segundo que el matrimonio entre dos personas inteligentes y dedicadas a causas justas era aún más deseable y como conclusión de ese argumento, que ya que ambos eran de ese tipo de personas debían casarse.
Russell comenzó su asalto discutiendo con ella estos asuntos, aunque por supuesto acompañados por un chaperón.
Finalmente, la relación de Russell y Alys dio un giro más íntimo y pronto estaban comprometidos, pese a la oposición de la familia de Russell y a pesar de haber pasado un año separados, puesto que Russell había aceptado una pasantía en París. Después de la boda Russell y Alys viajaron a Alemania donde Russell estudiaría economía y ambos entablarían contacto con algunos de los socialistas del momento.
La estancia de Russell en Alemania sirvió para dos propósitos, primero le dio suficiente conocimiento del país, de su economía y sus disputas políticas para escribir un libro La Socialdemocracia Alemana, y segundo le permitió conocer los trabajos de sus matemáticos. Sin duda alguna Alemania era el país que, en esa época, poseía los más distinguidos matemáticos del mundo, muchos de ellos trabajando para dar más rigor a su ciencia. Karl Weierstrass, Richard Dedekind y Georg Cantor eran tres de los más eminentes y Russell los estudió concienzudamente durante su estancia en Alemania. Es admirable en este caso que haya podido escribir un libro dedicado a cuestiones políticas y económicas, en donde hacía varias predicciones que darían en el blanco y además esgrimía una serie de potentes argumentos contra la teoría económica de Marx, y mientras hacía todo esto su corazón y su mente estaban realmente en las matemáticas. Eso muestra el calibre del pensamiento de Russell.
El Idealismo, filosofía de la cual Russell era un practicante; habiendo sido previamente convencido por McTaggart del poder intelectual del idealismo, Russell se convirtió en un pupilo de Hegel y Kant, escogiendo siempre a Hegel cuando surgía alguna disputa entre los dos. Las ideas de Hegel fueron transmitidas a Russell a través de su estudio de pensadores como T.H. Green y F.H. Bradley, el trabajo de Bradley era especialmente sofisticado, y en textos como Appearance and Reality Bradley ofrecía una serie de argumentos que pretendían establecer la irrealidad de muchas cosas que aceptamos de buena gana como las relaciones, y al mostrar la irrealidad de las relaciones se seguía la irrealidad de cualquier cosa constituida por relaciones: espacio, tiempo, la pluralidad de objetos y se seguía también que últimadamente existía una sola cosa: el Absoluto. Pero si esto era así, entonces al interior de las matemáticas tenían que surgir una serie de contradicciones, las mismas que no podían ser resueltas en las propias matemáticas y que tenían que ver con temas fundamentales como: la continuidad, el infinito, los infinitesimales, la validez de la inducción matemática, etc. Russell nunca estuvo satisfecho con esto, pero debido a su adherencia al idealismo (de manifiesto en su excelente ensayo para obtener su Fellowship Ensayo Sobre los Fundamentos de la Geometría) no podía ver camino para resolver esas dificultades.
No pasaría mucho tiempo para que Russell junto con Moore comenzaran su revuelta contra el idealismo. A su regreso a Inglaterra Russell y Moore se reunirían ocasionalmente para discutir estos temas, y de estas discusiones emergió un texto importante Sobre la Naturaleza del Juicio en donde Moore finalmente rompía con el idealismo, y proponía en su lugar un realismo a ultranza que se comprometía con la existencia de entidades abstractas como los conceptos y las proposiciones. Russell después manifestó que esta ruptura con el idealismo le permitió creer por un tiempo en la existencia de una multiplicidad de cosas y eso constituyó para él una gran liberación.
Russell, en particular, vio la lógica y la ciencia como la principal herramienta del filósofo. Por tanto, a diferencia de la mayoría de los filósofos que le precedieron a él y a sus contemporáneos, Russell no creía que hubiese un método específico para la filosofía.
Él creía que la principal tarea del filósofo era clarificar las proposiciones más genéricas sobre el mundo y eliminar la confusión. En particular, quería acabar con los excesos de la metafísica.
La teoría del conocimiento de Russell atravesó muchas fases. Una vez que hubo desechado el neo-Hegelismo en su juventud, Russell se consolidó como un realista filosófico durante el resto de su vida, creyendo que nuestras experiencias directas tienen el papel primordial en la adquisición de conocimiento. Aunque algunos de sus puntos de vista han perdido empuje, su influencia se mantiene sólida en la distinción entre las dos maneras en que nos familiarizamos con los objetos: “conocimiento por familiaridad” y “conocimiento por descripción”. Durante un tiempo, Russell pensó que sólo podíamos conocer mediante "datos sensoriales" -percepciones momentáneas de colores, sonidos, y similares - y que todo lo demás, incluyendo los objetos físicos que esas percepciones sensoriales representan, sólo pueden ser inferidos o razonados, es decir conocidos por descripción y no directamente. Esta diferenciación ha llegado a ser de mucho más amplio uso, aunque Russell posteriormente rechazó la idea de una percepción sensorial intermedia.
En su última etapa filosófica, Russell adoptó un tipo de "monismo neutral", sosteniendo que la diferenciación entre el mundo material y el mental era, en su análisis final, arbitraria, y que ambos pueden reducirse a una esfera neutral, un punto de vista similar al sostenido por el filósofo americano William James y que fue formulado por primera vez por Baruch Spinoza, muy admirado por Russell.
Russell escribió algunos libros acerca de temas de ética práctica, como por ejemplo, sobre el matrimonio. Sus opiniones en este campo son liberales, argumentando que las relaciones sexuales fuera de los matrimonios son aceptables. En su libro, Human Society in Ethics and Politics (1954), defiende que deberíamos ver a los asuntos morales desde el punto de vista de los deseos de los individuos. Los individuos pueden hacer lo que deseen, siempre que tales deseos no entren en conflicto con otros. Los deseos no son malos por sí mismos, pero en ocasiones, sus consecuencias, potenciales o no, lo pueden ser. Russell también escribió acerca de la importancia del castigo como instrumento, aunque no debería aplicarse sin justificación.
Quizás el tratamiento de análisis filosófico más sistemático y metafísico, y su logicismo centrado en el empirismo, es evidente en lo que él llamó Atomismo lógico, explicado en una serie de conferencias llamada "La Filosofía del Atomismo Lógico", dictada por él. En esos discursos, Russell expone su concepto de un lenguaje ideal, isomórfico, uno que reflejaría el mundo, donde nuestro conocimiento puede ser reducido a términos de proposiciones atómicas y sus componentes de función de verdad (lógica matemática). Para Russell el atomismo lógico es una forma radical de empirismo, quien además creía que el requerimiento más importante para tal lenguaje ideal es que cada proposición significativa debe consistir de términos que se refieran directamente a los objetos que nos son familiares. Russell excluyó ciertos términos lógicos y formales como todos (all), el o la (the), es (is), y así otros, de su requisito isomórfico, pero nunca estuvo completamente satisfecho acerca de nuestra comprensión de tales términos.
Uno de los temas centrales del atomismo de Russell es que el mundo consiste de hechos lógicamente independientes, una pluradidad de hechos, y que nuestro conocimiento depende de los datos de nuestra experiencia directa con ellos.
Más tarde en su vida, Russell comenzó a dudar de los aspectos del atomismo lógico, especialmente su principio de isomorfismo, aunque continuó creyendo que el proceso de filosofía debiera consistir de cosas desmenuzadas en sus componentes más simples, aunque nunca alcanzaríamos la útima verdad (hecho) atómica.
Russel tuvo una gran influencia en la lógica matemática moderna. El filósofo y lógico norteamericano Willard Quine dijo que el trabajo de Russell representaba la más grande influencia sobre su propio trabajo.
El primer libro matemático de Russel, Ensayo Sobre los Fundamentos de la Geometría ('An Essay on the Foundations of Geometry'), fue publicado en 1897. Este trabajo fue fuertemente influenciado por Immanuel Kant. Russell pronto se dio cuenta que el concepto aplicado haría imposible el esquema espacio-tiempo de Albert Einstein, al cual lo consideraba como superior a sus propios sistemas. Desde ahí en adelante, rechazó todo el programa de Kant en lo relacionado a las matemáticas y a la geometría, y sostuvo que su trabajo más temprano en esa materia carecía de valor.
Interesado en la definición de número, Russell estudió los trabajos de George Boole, George Cantor y Augustus De Morgan, mientras que en los Archivos Bertrand Russell en la Universidad McMaster se encuentran notas de sus lecturas de lógica algebraica por Charles S. Peirce y Ernst Schröder. Se convenció de que los fundamentos de matemáticas serían encontrados en la lógica, y siguiendo a Gottlob Frege aplicó un acercamiento extensionista en donde la lógica a su vez se basaba en la teoría de conjuntos. En 1900 participó en el primer Congreso Internacional de Filosofía en París, donde se familiarizó con el trabajo del matemático italiano Giuseppe Peano. Se convirtió en un experto del nuevo simbolismo de Peano y su conjunto de axiomas para la aritmética.
Sería difícil ponderar la influencia de Russel sobre la filosofía moderna, especialmente en el mundo angloparlante. Mientras otros también fueron notablemente influyentes, Frege, Moore y Wittgenstein, más que ninguna otra persona Russell hizo del análisis la aproximación dominante hacia la filosofía. Además, él es el fundador, o al menos, el principal promotor de sus mayores ramas y temas, incluyendo varias versiones de la filosofía del lenguaje, análisis lógico formal, y la filosofía de la ciencia. Varios movimientos analíticos del último siglo se los debemos a los primeros trabajos de Russell.
La influencia de Russell sobre cada filófoso es particular, y quizás esto se note más en el caso de Ludwig Wittgenstein, quien fue su alumno entre 1911 y 1914. También hay que observar que Wittgenstein ejerció considerable influencia sobre Russell, especialmente al mostrarle el camino para llegar a concluir, a su pesar, que las verdades matemáticas eran sólo verdades tautológicas. La evidencia de la influencia de Russell sobre Wittgenstein pueder ser vista por todas partes en el Tractatus, donde Russell contribuyó en su publicación. Russell también ayudó en garantizar el doctorado de Wittgenstein junto a una posición en la facultad de Cambridge, además de varias becasSin embargo, como se menciona previamente, Russell más tarde llegó a disentir con la aproximación lingüística y analítica hacia la filosofía de Wittgenstein, mientras Wittgenstein llegó a pensar de Russell como "superficial", particularmente en sus escritos más populares. La influencia de Russell también es evidente en el trabajo de A. J. Ayer, Carnap, Kurt Gödel, Karl Popper, W. V. Quine, y otros filósofos y lógicos.
Algunos ven la influencia de Russell como negativa, principalmente aquellos que han sido críticos de su énfasis en la ciencia y la lógica, la consiguiente debilitación de la metafísica, y su insistencia en que la ética yace fuera de la filosofía.
Los admiradores y detractores de Russell generalmente están más al tanto de sus pronunciamientos sobre asuntos políticos y sociales (llamado "periodismo" por algunos, como Ray Monk), que de su trabajo técnico y filosófico. Entre los no-filósofos, hay una tendencia marcada en fusionar estos temas, y juzgar a Russell el filósofo por lo que él ciertamente consideraría ser sus opiniones no-filosóficas. Russell con frecuencia recalcaba a las personas esta diferencia.
Russell dejó un gran surtido de escritos. Desde la adolescencia, escribió cerca de 3.000 palabras por día, con pocas correcciones; su primer borrador casi siempre era muy cercano a su último borrador, aún en los temas técnicos más complejos. Su trabajo previo no publicado es una inmensa colección de tesoros, del cual los especialistas continúan adquiriendo nuevas visiones del pensamiento de Russell.
El activismo social y político ocupó gran parte del tiempo de Russel durante su larga vida, lo que hace más remarcable sus escritos sobre un gran rango de temas técnicos y no técnicos.
Russell permaneció políticamente activo hasta el final, escribiendo y exhortando a los líderes mundiales, además de prestar su nombre a numerosas causas. Algunos afirman que durante sus últimos años él dio a sus jóvenes seguidores demasiada licencia y que ellos utilizaron su nombre para ciertos propósitos absurdos que un Russell más atento no hubiera aprobado. Existe evidencia que muestra que él se dio cuenta de esto cuando despidió a su secretario privado, Ralph Schoenman, entonces un joven revolucionario de la izquierda radical.
Russell nunca fue un total pacifista; en su artículo de 1915 "La Ética de la Guerra (The Ethics of War)", defendió las guerras de colonización sobre tierras de uso útil cuando una civilización más avanzada podría administrar la tierra dándole un mejor uso. Sin embargo, Russell se opuso casi a todas las guerras entre naciones modernas.
Cuando era joven, Russell fue miembro del Partido Liberal de Reino Unido y se mostró en favor del libre comercio y el voto femenino. En su panfleto de 1910, "Ansiedades Anti-Sufragio" (Anti-Suffragist Anxieties), Russell escribió que algunos hombres se oponen al sufragio porque "temen que su libertad para actuar de maneras que son ofensivas hacia las mujeres sea reducida". En 1907 había postulado al parlamento para apoyar esta causa, pero perdió por un alto margen.
En 1950 recibió el premio Nobel de Literatura. En 1952, a los ochenta años, se unía en cuartas nupcias a Edith Finch, y en 1953 publicada la novela Satanás en los suburbios y otras narraciones (Satan in the Suburbs and Other Stories). En 1955 dio a la imprenta el testamento espiritual de Albert Einstein, y se manifestó abiertamente en favor de la prohibición de la guerra atómica y de los conflictos bélicos en general.
Admitiendo fracasar en ayudar al mundo a vencer la guerra y en ganar su perpetua batalla intelectual por verdades eternas, Russell escribió esto en "Reflexiones en mi octogésimo cumpleaños" (Reflections on My Eightieth Birthday), que además fue la última entrada en el último volumen de su autobiografía, publicada cuando tenía 98 años:
He vivido en busca de una visión, tanto personal como social. Personal: cuidar lo que es noble, lo que es bello, lo que es amable; permitir momentos de intuición para entregar sabiduría en los tiempos más mundanos. Social: ver en la imaginación la sociedad que debe ser creada, donde los individuos crecen libremente, y donde el odio y la codicia y la envidia mueren porque no hay nada que los sustente. Estas cosas, y el mundo, con todos sus horrores, me han dado fortaleza.
Bertrand Russell, Reflexiones en mi octogésimo cumpleaños.
"Gran parte de las dificultades que atraviesa el mundo se deben a que los ignorantes están completamente seguros y los inteligentes, llenos de dudas."
"Hallarte sin algunas de las cosas que deseas es una parte indispensable de la felicidad."
Encabezó un movimiento a finales de la década de 1950 que exigía el desarme nuclear unilateral del Reino Unido y fue encarcelado a los 89 años tras una manifestación antinuclear. Murió el 2 de febrero de 1970.
jajajaja.....
ResponderEliminaraqui les he puesto el "pequeño" reporte de Russell... spero q les sirva para studiar...
y no sean mala onda... tamb uds suban info!!!!!!!!
hoLA! tngo una pregunta.... el lunes el lic. hara un laboratorio de las exposiciones??? xfa! s urgnt!!
ResponderEliminarGEUSEPPE PEANO
ResponderEliminarEl desarrollo de la lógica matemática está estrechamente ligado a la evolución intelectual de la ciencia, de sus avatares, de su historia. La construcción de la lógica matemática moderna, desde la segunda mitad del siglo XIX, es un reflejo de esta evolución. El papel del matemático italiano Giuseppe Peano fue crucial en todo el proceso de paso de una visión "ingenua" de la lógica a una lógica que establecería ya el rigor, mediante reglas de juego, del proceso de la demostración.
BIOGRAFIA
Giuseppe Peano fue un matemático italiano que vivió de 1858 a 1932.
Peano nació un 27 de agosto en el pueblo de Cuneo, en Italia. Nació y vivió su infancia en una granja. Iba a una escuela que estaba en el pueblo de Spinetta a 5 Km. de su casa, por lo cual, si la aritmética no falla, caminaba 10 Km. diarios.
Su tío, el hermano de su madre, se dio cuenta de que Giuseppe tenía una inteligencia fuera de lo común y se lo llevó a vivir a la ciudad de Turín para darle una formación que le permitiera entrar a la universidad. Peano tenía entonces 12 años.
Ingresó a la Universidad de Turín en 1876 y para 1880 ya era doctor en Matemáticas.
Peano amaba las matemáticas, cuentan que las había amado siempre, desde que era un niño.
Fue durante toda su vida profesor e investigador de la Universidad de Turín. Estudió prácticamente todas las áreas de las matemáticas y en todas ellas tuvo algo nuevo que aportar. Uno de sus mejores libros fue Arithmetices principia, nova método expósita en el que formalizó, desde el punto de vista de la lógica matemática, toda la aritmética.
Peano murió el 20 de abril de 1932 y, a su muerte, uno de sus alumnos escribió:
"...vivo fascinado con su amable personalidad, su capacidad para atraer alumnos, su tolerancia de la debilidad humana, su permanente optimismo...Peano no sólo debe ser clasificado como un gran matemático y lógico del siglo XIX debido a su originalidad y a su influencia. Debe ser mirado, sin duda, como uno de los mejores científicos de ese siglo..."
PEANO EN EL SIGLO XIX
La historia de la ciencia muestra que el desarrollo de nuevas ideas, así como la búsqueda de bases más sólidas sobre las cuales fundamentar las ya existentes, necesita de lo que podríamos llamar un "ambiente" propicio. Europa Occidental, a finales del siglo XIX y comienzos del siglo XX, proveyó de este ambiente al desarrollo de la lógica, del método axiomático y de la matemática en general. Esta poca estuvo caracterizada por grandes cambios que abarcaron prácticamente toda la actividad humana, en particular las matemáticas y las ciencias. Estos cambios se gestan a principios del siglo XIX y continúan hasta la primera mitad del siglo XX. En lo que concierne a las matemáticas, se inician en el primer tercio del siglo XIX con el nacimiento de las geometrías no euclidianas y la introducción del rigor en el análisis.
Citemos al respecto un párrafo de Carl Boyer, tomado de su obra A History of Mathematics:
"Las matemáticas han sido comparadas a menudo con un árbol, que crece a lo alto y ancho expandiendo la estructura de su ramaje sobre la tierra, mientras al mismo tiempo hunde sus raíces cada vez más profundamente y a lo ancho en la búsqueda de un fundamento firme. Este doble crecimiento fue especialmente característico del desarrollo del análisis del siglo XIX, ya que la rápida expansión de la teoría de funciones fue acompañada por la rigurosa aritmetizacion del tema desde Bolzano hasta Weierstrass. En algebra el siglo XIX había sido más notable por los nuevos desarrollos que por la atención dada a los fundamentos (. . .). Sin embargo, durante los últimos años del siglo hubo varios esfuerzos para proveer con raíces más fuertes al algebra. El sistema de los números complejos es definido en términos de los números reales, los cuales son expuestos como clases de números racionales, los cuales a su vez son pares ordenados de enteros; pero, que son, después de todo, los enteros?"
Los intentos de respuesta y la respuesta a esta pregunta están en el corazón de los fundamentos de la matemática, al ser esta referida, en última instancia, a la aritmética. Ya para finales del siglo XIX, las diversas ramas de la matemática se fundamentaban en el concepto de número natural. Peano fue más allá, al mostrar que la teoría ordinaria de los números naturales puede ser construida a partir de tres conceptos primitivos ("uno", "número" y "sucesor") y de nueve postulados, cuatro de los cuales corresponden a la igualdad.
Transcribimos, a continuación, el párrafo en el cual Peano introduce sus axiomas, con su propia simbología. (D. A. Gilles, 1982):
El signo N significa número (entero positivo); 1 significa unidad; a+1 significa el sucesor de a o a más 1; y = significa es igual a (este debe ser considerado como un nuevo signo, aunque tiene la apariencia de un signo de lógica).
No fue Peano el primer matemático del siglo pasado que se ocupo de este tema. En su Arithmetices principia de 1889, dice en el prefacio:
"En las pruebas de aritmética uso el libro de H. Grassmann, Lehrbuch der Arithmetik (Berlin, 1861). También me fue bastante útil el reciente trabajo de R. Dedekind, Was sind und was sollen die Zahlen (Braunschweig, 1888) en el que son examinadas agudamente cuestiones pertinentes a los fundamentos de los números."
Así, la influencia de Richard Dedekind (1831-1916) en Peano es directa. La obra de Dedekind a que hace referencia Peano es también sobre los fundamentos de la aritmética. Toma la noción de "sistema" como básica y define el número. Aunque hay mucha semejanza entre los postulados de Peano y la definición de Dedekind de número natural, la originalidad de Peano está en que propuso una axiomatización de la aritmética sin reducir el concepto de número a una noción lógica y formaliza la axiomatización que propuso. Más adelante nos referiremos en más detalle a una comparación entre Peano, Dedekind y Friedrich Gottlob Frege (1848-1925), que fue el otro matemático que en ese período se ocupo de estos fundamentos en su obra (entre otras) Grundlagen der Arithmetik,
Los trabajos de Giuseppe Peano respondían a un ambicioso proyecto que entusiasmo a colaboradores y discípulos: Exponer en un lenguaje puramente simbólico no solo la lógica matemática, sino también las ramas más importantes de la matemática. Este propósito fue llevado a cabo en la obra Formulario mathematico, cuya primera edición apareció en 1895 y la ultima en 1908. Esta escrito casi enteramente en fórmulas y desarrolla:
I) Lógica matemática I II) Aritmética III) algebra IV) Geometría V) Límite VI) Cálculo Diferencial
VII) Cálculo Integral VIII) Teoría de Curvas En el Formulario aparece también, algo modificado, el trabajo de Peano al que hicimos referencia en la Introducción
LA LOGICA DE PEANO
Posición del pensamiento lógico hasta Peano:
Hasta casi finales del siglo XIX se pensaba que la validez de una demostración, de un razonamiento matemático, consistía principalmente en que "nos convenciera", en que se nos presentase como evidente a nuestra mente y lo aceptáramos como válido.
La posición de Giuseppe Peano (1858-1932) se levantó contra esta forma de argumentar, pues, en esencia, defendía que "el valor de una demostración, de un proceso argumentativo, no depende del gusto o sentimientos interiores de nadie, sino de que el argumento tenga una propiedad de validez universalmente comprobable".
La lógica de enunciados y Peano:
Hasta el año 1878, en el que comenzó a publicarse una serie de artículos de Hugh Mc Coll (1837-1909) sobre el "Cálculo de enunciados equivalentes", se consideraba que la lógica matemática era, simplemente, la lógica de clases, el álgebra de clases. Fue a partir de entonces cuando se empezó a entender que toda la lógica matemática dependía de la implicación lógica entre enunciados diversos. Que la raíz de toda la lógica matemática es la teoría de enunciados, y no la teoría de clases.
La gran aportación de Peano al respecto fue la idea de que es posible poner todas las argumentaciones de la lógica de enunciados y de la lógica de clases en un lenguaje artificial de signos, conectados mediante implicaciones. En este sentido, afirmaba que "todos los teoremas de la matemática sin implicaciones entre enunciados".
Esta idea de Peano fue inspiradora de la definición que Russell y Whitehead daban en los Principia Mathematica del concepto que tenían de la Matemática: La matemática es la clase de los enunciados de la forma "si A entonces B", estando los enunciados A y B sujetos a ciertas limitaciones.
Para Peano la Lógica Matemática era, realmente, la Lógica de la Matemática, esto es, un instrumento cuyo objetivo era dar el rigor y adecuado valor a las argumentaciones del quehacer de la matemática.
Aportaciones del trabajo de Peano:
El deseo de colocar las argumentaciones de la matemática en un lenguaje riguroso, obligó a Peano a desarrollar un cuerpo de signos que sirvieran para la notación de los razonamientos y las definiciones de objetos. Fueron varios los símbolos que comenzó a utilizar y las ideas sobre la simbolización de los razonamientos que aún en nuestros días se utilizan comúnmente.
Un ejemplo importante es la simbolización de una clase por medio de un enunciado que estableciera una cierta propiedad. Sería algo así como "la clase de los objetos x tales que p(x)". Esto es algo así como un axioma formador de clases por la propiedad p(x) que contengan los objetos x.
Otro descubrimiento de Peano fue el hecho de que "ser elemento" de una clase, es decir "pertenecer" a una clase, es algo diferente a "estar incluido o contenido" en una clase. Es decir, estableció la diferencia entre los objetos de una clase y las partes de una clase. Para la indicación de la relación de pertenencia se utiliza hoy día el símbolo " " y para la relación de inclusión el símbolo " ".
Otra notación que hoy día seguimos utilizando es la del cuantificador universal, esto es la notación, por ejemplo, de "para todo x, x pertenece a A si p(x)", que hoy día hacemos con el símbolo " ". Asimismo, el cuantificador existencial para indicar situaciones como "existe algún x tal que p(x)", que también hoy día simbolizamos con " ".
En Italia se constituyó la llamada Escuela de Peano, un grupo de expertos interesados en las bases axiomáticas de la matemática y por el uso adecuado de un lenguaje simbólico para la exposición de los teoremas y argumentaciones. El grupo, encabezado por Peano, llevó adelante la publicación de la revista "Rivista di matematica", a partir de 1891, y la obra "Le formulaire de Mathématiques" entre los años 1895 y 1908.
Fue con Peano y su escuela que la lógica avanzo de tal forma que pudo contribuir para mejorar la comprensión de los problemas relativos a los fundamentos de la matemática.
Peano creó un lenguaje lógico simbólico en el que, como hemos dicho antes, trato de expresar todas las disciplinas deductivas, lo que trajo grandes avances tanto para la lógica como para la matemática.
Para dar un ejemplo de una contribución de Peano en el campo de la lógica, consideremos la clarificación del concepto de "membresia" en una clase.
Una proposición específica siempre concierne a un cierto sujeto que puede ser señalado y al cual puede dársele un nombre propio. Lo que una proposición general menciona es un "miembro" o "miembros" de una cierta clase. "Algún animal ha matado un conejo" afirma que por lo menos un miembro de la clase de los animales ha matado un conejo. La lógica no trata de personas, animales u objetos específicos; puede aplicarse a individuos si ellos son miembros de una clase. (De no ser así, no habría interrelación en absoluto entre lógica y vida). La relación de clase-membresia, por lo tanto, es importante. Por cientos de años fue confundida con la relación de parte de un todo, lo que creó problemas metafísicos complicados en la filosofía. Peano reconoció la diferencia entre "es" (que puede tener muy diversas acepciones: identidad, parte, membresía, etc.) y "es un" y honra la ultima relación con un símbolo especial: "e" (del griego " e s t i "). Así, si se quería expresar breve y concisamente que U.C.R. es un miembro de la clase "universidad", se escribía:
U.C.R. e universidad, que puede leerse: U.C.R. es una universidad.
El símbolo de pertenencia (es decir membresía) sigue vigente, aunque actualmente la escritura de una expresión como la anterior sea algo distinta. Hay otros símbolos inventados por Peano que se usaron profusamente en la teoría de conjuntos y se siguen utilizando, tales como "[" (suma o unión lógica); "\"" (producto o intersección lógica), etc.
PEANO Y EL LOGICISMO
En la filosofía de las matemáticas se han considerado como corrientes principales los llamados “logicismo”, “intuicionismo” y La doctrina logicista, que con exceso de simplificación podríamos caracterizar por querer reducir la matemática a lógica, nació, en cierto sentido, de las investigaciones relativas a los fundamentos de la matemática y a la lógica. Peano no fue un logicista, puesto que no intento reducir la matemática a la lógica, aunque sea la expresó con los recursos de la lógica simbólica.
Peano admitió "clase" como una noción lógica. Sin embargo, el no creía que el número pudiera ser definido en términos de nociones lógicas. Más bien, la aritmética contenía un número de nociones primitivas que no podrán ser definidas; pero que podían ser caracterizadas axiomáticamente. Desde este punto de vista, Peano fue un precursor del posterior formalismo de Hilbert.
El mismo escribe en Arithmetices principia:
"Aquellos signos aritméticos que pueden ser expresados usando otros junto con signos de lógica representan las ideas que podemos definir. Así yo he definido cada signo, excepto los cuatro que están contenidos en las explicaciones del párrafo 1. Si, como creo, estos no pueden ser reducidos más, entonces las ideas expresadas por ellos no pueden ser definidas por ideas que ya se supongan conocidas.
PEANO Y EL METODO AXIOMÁTICO
Con la evolución de la matemática, especialmente de la geometría, el método axiomático, prácticamente inalterado desde Euclides, se hizo cada vez más riguroso, llegando a un alto grado de perfección lógica en las últimas décadas del siglo pasado, con Moritz Pasch (1843-1931), quien publico en 1882 sus Lecciones de geometría moderna, donde por primera vez se presenta un sistema completo de postulados suficiente para exponer rigurosamente la geometría proyectiva, luego con los trabajos de Dedekind, que en 1888 expuso un sistema completo de axiomas en que fundar la aritmética y con los trabajos de Peano de 1889 y 1891.
En 1889 Peano también da a conocer un ensayo, del cual solo las notas están en italiano y todas las proposiciones se expresan en forma puramente simbólica, cuyo título es "Los principios de la geometría expuestos lógicamente". Tuvo, sin embargo, mayor difusión "Los principios de la aritmética expuestos según un nuevo método", con notas en latín.
Pero el método axiomático adquirió su estado casi definitivo con David Hilbert (1862-1943), quien publico su libro Grundlagen der Geometrie (Fundamentos de la Geometría) en 1899.
Hilbert fue posiblemente influido por Peano al adoptar la filosofía formalista de la matemática; pero además de la construcción de sistemas formales, a Hilbert y su escuela les interesa la investigación de las propiedades metamatemáticas de tales sistemas. Es curioso notar que se encuentran los débiles comienzos de este interés metamatemática en Peano. Cito a Gillies:
"No hay metamatemáticas en su Arithmetices principia de 1889; pero en su artículo de 1891 Sul concetto di numero, hace una investigación metamatemática de la independencia de sus cinco axiomas. Este es un pasaje interesante y vale la pena citar unas pocas partes de el.
Peano empieza enunciando sus cinco postulados. Luego observa:
Es fácil ver que estas condiciones son independientes
Sigue entonces una investigación de la independencia (. . .) Peano usa el método de los modelos. Para mostrar que un postulado particular, digamos P, es independiente de un grupo, digamos G, de los otros, Peano inventa un modelo M en el cual P es falso, pero los postulados de G son todos verdaderos. Sin dar los detalles completos, ilustraremos su procedimiento con un par de ejemplos:
i) Prueba de que (P5) es independiente de (P1), (P2), (P3) y (P4):
Para formar una clase de entidades que satisfagan 1, 2, 3 y 4, pero no 5, es suficiente agregar al sistema N otro sistema de entidades que satisfaga las condiciones 2, 3 y 4; así la clase formada por los enteros positivos N y por los números imaginarios de la forma i+N, es decir, aquellos que se obtienen al sumar a la unidad imaginaria un entero positivo arbitrario, satisface las condiciones que preceden a 5; pero no 5 mismo.
ii) Prueba de que (P4) es independiente de (P1), (P2), (P3) y (P5):
Para ver que 4 no es una consecuencia de 1, 2, 3 y 5, consideremos las raíces de la ecuación x =1; llamemos primera razón (o 1) a la raíz imaginaria que tiene el argumento más pequeño (2/n); y llamemos sucesor de una raíz al producto de a por la primera raíz; las condiciones 1, 2, 3 y 5 se verifican, pero no 4, al ser la primera raíz también sucesor de la enésima. El mismo ejemplo puede ser dado en forma popular con los nombres de las horas: la una es el sucesor de las doce.
Tales investigaciones de independencia son muy útiles porque aclaran el rol preciso de cada uno de los varios axiomas. Aunque Peano investiga la independencia de los axiomas, no presenta, hasta donde he podido descubrir, la cuestión de la consistencia. Quedó para Hilbert y su escuela presentar la cuestión de la consistencia e investigarla en detalle." (Gillies, op. cit. pp 69-70).
La compatibilidad de los axiomas de la aritmética es el segundo problema en la lista de 23 problemas hasta entonces no resueltos que presentó Hilbert en su discurso de 1900. Este asunto se debatió en los primeros decenios de este siglo en la llamada "crisis de los fundamentos" de la matemática, que surgió a partir de algunas paradojas que se manifestaron en la reciente teoría de conjuntos. Principia mathematica de Bertrand Russell y Alfred North Whitehead (1861-1947), dejo sin respuesta la segunda pregunta de Hilbert. Los esfuerzos que se hicieron para resolver este problema llevaron, en 1931, a una conclusión sorprendente al matemático austriaco emigrado a Estados Unidos, Kurt Gadel, quien demostró que en un sistema rígidamente lógico, tal como el que Russell y Whitehead habían desarrollado para la aritmética, pueden ser formuladas proposiciones indecidibles, es decir que no pueden ser demostradas ni demostrada su negación, en el marco de los axiomas del sistema. Por lo tanto no se puede estar seguro, usando los métodos normales, que los axiomas de la aritmética no llevaron a contradicciones.
Sin embargo, los matemáticos siguen trabajando y los más preocupados de entre ellos por los fundamentos buscan una salida tal vez en la metamatemática.
que bestias!!!! como suben el resumen asi... hehehe, pero gracias!
ResponderEliminarbesos
CAM